manel, isto é para ti (vê lá, se não perceberes nada, avisa)
> Problema. > The n-rowed determinant Delta_n is defined as > > | -2 1 0 0 ........ 0 | > | 1 -2 1 0 ........ 0 | > | 0 1 -2 1 ........ 0 | > | 0 0 1 -2 ........ 0 | > | .......................................... | . > | .......................................... | > | .......................................... | > | 0 0 0 0 ........ -2 | > > By finding a linear relation between Delta_n, Delta_{n-1} and > Delta_{n-2} or otherwise, establish an explicit formula for Delta_n.
Para te partir a cabecinha toda vou fazer só as que não são pedidas com a matriz A_n acima.
Quais são os autovetores de A_n? Um autovetor de uma matriz A é um vetor não nulo v com a propriedade de que Av = av para um escalar a; neste caso a é chamado o autovalor associado a v.
Portanto quais são os autovetores de A_n? Se v_i são as coordenadas do proponente a autovetor então
a v_1 = -2 v_1 + v_2 a v_2 = v_1 - 2v_2 + v_3 a v_3 = v_2 - 2v_3 + v_4 ... a v_n = v_{n-1} - 2 v_n
ficando mais regular se introduzirmos v_0 = v_{n+1} = 0
a v_1 = v_0 -2 v_1 + v_2 a v_2 = v_1 - 2v_2 + v_3 a v_3 = v_2 - 2v_3 + v_4 ... a v_n = v_{n-1} - 2 v_n + v_{n+1}
E ainda mais se introduzirmos v_{n+2} = - v_n, v_{n+3} = - v_{n-1},... v_{2n+1} = - v_1, v_{2n+2} = 0, ... e em geral v_{-i} = - v_i, v_{i+2n+2} = v_i. Portanto:
a v_i = v_{i-1} - 2 v_i + v_{i+1}
ou então
v_{i+1} = (a + 2) v_i - v_{i-1}
para i completatmente.
Se esquecermos a periodicidades permite-nos calcular a recorrência para encontrar
v_i = B b^i + C c^i
B e C, constantes, e b e c, raízes de x^2 - (a+2) x + 1 = 0)
Para que aconteça a (2n+2)-periodicidade devemos ter b^{2n+2} = c^{2n+2} = 1 ou b = cos(pi k/(n+1)) + I sen(pi k/(n+1)) c = cos(pi k/(n+1)) - I sen(pi k/(n+1)) para algum inteiro k, 1 <= k <= n, onde I = sqrt(-1).
Os valores de b e c produzem autovalores e autovetores:
a = 2 cos(pi k/(n+1)) - 2, B = I/2, C = -I/2, v_i = sen(pi ki/(n+1)).
Esta não é a resposta nem está relacionado como foi pretendido Delta_n com Delta_{n-1} e Delta_{n-2} Mas se resolveres através desta proposta obterás uma identidade legitima!
grande e sábio gtx: isto é tanta matemática que nem sabes de que falas. eu é que te pergunto: qual o teu deteterminante 'Δ'? e também pergunto: e o que é que isto tem a ver com o glorioso? caso não tenhas percebido o título do post é a expressão matemática que define a esfera que entrou por duas vezes na baliza do liverpool- miccoli, acrobático, foi arte! mais: o meu mail é manel.alves@gmail.com, tem mais de dois gigas e meio e sempre a aumentar (à taxa de três bytes por segundo, logo de vinte e quatro bits por segundo). vai mas é montar cortinados... lagarto!
è claro que isto que aqui coloquei não percebo eu patavina. Sou como João das Regras que da arte de governar nada percebia mas conseguia escolher a quem ajudar sabia. Se em prosa conseguires matematicar também eu sem respirar sei "nádá". Desculpas oficiais pelo francês que te dirigi, pois de francês o que mais conheço é o alho e tudo o resto, para mim, é carta fora do baralho. Um abraço deste teu AMIGO que sabe que bens terrenos são de helenos, corjas materiais fritam pardais e a quem aprouver e não tiver mulher é certa a incidência na arte da matemática ciência: um, dois, três, cinco, oito, tá na hora do biscoito... Para mim o que é mais importante é uma equipa portuguesa ganhar, seus lança verylights.
Agora uma coisa é certa, aprender custa muito, desaprender não custa nada.
4 comentários:
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manel,
isto é para ti (vê lá, se não perceberes nada, avisa)
> Problema.
> The n-rowed determinant Delta_n is defined as
>
> | -2 1 0 0 ........ 0 |
> | 1 -2 1 0 ........ 0 |
> | 0 1 -2 1 ........ 0 |
> | 0 0 1 -2 ........ 0 |
> | .......................................... | .
> | .......................................... |
> | .......................................... |
> | 0 0 0 0 ........ -2 |
>
> By finding a linear relation between Delta_n, Delta_{n-1} and
> Delta_{n-2} or otherwise, establish an explicit formula for Delta_n.
Para te partir a cabecinha toda vou fazer só as que não são pedidas com a matriz A_n acima.
Quais são os autovetores de A_n?
Um autovetor de uma matriz A é um vetor não nulo v
com a propriedade de que Av = av para um escalar a;
neste caso a é chamado o autovalor associado a v.
Portanto quais são os autovetores de A_n?
Se v_i são as coordenadas do proponente a autovetor então
a v_1 = -2 v_1 + v_2
a v_2 = v_1 - 2v_2 + v_3
a v_3 = v_2 - 2v_3 + v_4
...
a v_n = v_{n-1} - 2 v_n
ficando mais regular se introduzirmos v_0 = v_{n+1} = 0
a v_1 = v_0 -2 v_1 + v_2
a v_2 = v_1 - 2v_2 + v_3
a v_3 = v_2 - 2v_3 + v_4
...
a v_n = v_{n-1} - 2 v_n + v_{n+1}
E ainda mais se introduzirmos v_{n+2} = - v_n, v_{n+3} = - v_{n-1},...
v_{2n+1} = - v_1, v_{2n+2} = 0, ... e em geral
v_{-i} = - v_i, v_{i+2n+2} = v_i. Portanto:
a v_i = v_{i-1} - 2 v_i + v_{i+1}
ou então
v_{i+1} = (a + 2) v_i - v_{i-1}
para i completatmente.
Se esquecermos a periodicidades permite-nos calcular a recorrência
para encontrar
v_i = B b^i + C c^i
B e C, constantes, e b e c, raízes de x^2 - (a+2) x + 1 = 0)
Para que aconteça a (2n+2)-periodicidade devemos ter
b^{2n+2} = c^{2n+2} = 1 ou
b = cos(pi k/(n+1)) + I sen(pi k/(n+1))
c = cos(pi k/(n+1)) - I sen(pi k/(n+1))
para algum inteiro k, 1 <= k <= n, onde I = sqrt(-1).
Os valores de b e c produzem autovalores e autovetores:
a = 2 cos(pi k/(n+1)) - 2, B = I/2, C = -I/2, v_i = sen(pi ki/(n+1)).
O determinante solicitado consiste no produto
Delta_n = Prod_{k = 1..n} (2 cos(pi k/(n+1)) - 2).
Esta não é a resposta nem está relacionado como foi pretendido
Delta_n com Delta_{n-1} e Delta_{n-2}
Mas se resolveres através desta proposta obterás uma identidade legitima!
grande e sábio gtx: isto é tanta matemática que nem sabes de que falas. eu é que te pergunto: qual o teu deteterminante 'Δ'? e também pergunto: e o que é que isto tem a ver com o glorioso? caso não tenhas percebido o título do post é a expressão matemática que define a esfera que entrou por duas vezes na baliza do liverpool- miccoli, acrobático, foi arte! mais: o meu mail é manel.alves@gmail.com, tem mais de dois gigas e meio e sempre a aumentar (à taxa de três bytes por segundo, logo de vinte e quatro bits por segundo). vai mas é montar cortinados... lagarto!
è claro que isto que aqui coloquei não percebo eu patavina. Sou como João das Regras que da arte de governar nada percebia mas conseguia escolher a quem ajudar sabia.
Se em prosa conseguires matematicar também eu sem respirar sei "nádá".
Desculpas oficiais pelo francês que te dirigi, pois de francês o que mais conheço é o alho e tudo o resto, para mim, é carta fora do baralho.
Um abraço deste teu AMIGO que sabe que bens terrenos são de helenos, corjas materiais fritam pardais e a quem aprouver e não tiver mulher é certa a incidência na arte da matemática ciência: um, dois, três, cinco, oito, tá na hora do biscoito...
Para mim o que é mais importante é uma equipa portuguesa ganhar, seus lança verylights.
Agora uma coisa é certa, aprender custa muito, desaprender não custa nada.
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